Question

将函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013在区间（0，+∞）内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a_n}（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2nan，数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）由倍角公式可得f（x）=

1

2

sinx+2013，求导后令导函数值等0，可得函数的极值点，进而根据三角函数的周期性，可得到数列{a_n}的首项和公差，进而得到数列{a_n}的
通项公式．
（2）由bn=2nan，数列{b_n}的前n项和为T_n，利用错位相减法可得T_n的表达式．

解答：解：（1）由于f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013=

1

2

sinx+2013，令f′（x）=0得，x=kπ+

π

2

（k∈Z）．
故函数f（x）极值点为x=kπ+

π

2

（k∈Z）．
又∵函数f(x)=sin

x

2

cos

x

2

+2013在区间（0，+∞）内的全部极值点构成数列{a_n}，
故数列{a_n}是以

π

2

为首项，π为公差的等差数列，∴a_n=

π

2

+（n-1）•π=

2n-1

2

π（n∈N^*）．…．（6分）
（2）∵b_n=2ⁿa_n=

π

2

（2n-1）•2ⁿ，
∴T_n=

π

2

[1•2+3•2²+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ]，
2T_n=

π

2

[1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
两式相减，得-T_n=

π

2

[1•2+2•2²+2•2³+…+2•2ⁿ-（2n-1）•2ⁿ⁺¹]，
∴T_n=π[（2n-3）•2ⁿ+3]．…（12分）

点评：本题考查的知识点是二倍角的正弦公式，求函数的导数，函数在某点取得极值的条件，数列的函数特性，用错位相减法进行求和，属于中档题．