Question

过直线y=2x+1上的一点作圆（x-2）²+（y+5）²=5的两条切线l₁，l₂，当直线l₁，l₂关于y=2x+1对称时，则直线l₁，l₂之间的夹角为（　　）

• A、30°
• B、45°
• C、60°
• D、90°

Answer 1

分析：过点P作圆的两条切线分别为PM，PN，由题意有可得PA 垂直于直线y=2x+1，可得

2a+1+5

a-2

×2=-1，求出a，直角三角形PAM中，利用边角关系求得∠MPA=30°，从而∠MPN=60°，即得所求．

解答：解：设直线y=2x+1上的一点P（a，2a+1），
圆心A（2，-5），过点P作圆的两条切线分别为PM，PN，
则由PM，PN关于y=2x+1对称，可得PA垂直于直线y=2x+1，∴

2a+1+5

a-2

×2=-1，
∴a=-2，∴点P（-2，-3），PA=

16+4

=2

5

．
直角三角形PAM中，sin∠MPA=

AM

PA

=

1

2

，∴∠MPA=30°，∴∠MPN=60°，
即直线l₁，l₂之间的夹角为 60°，
故选C．

点评：本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于-1，直角三角形中的边角关系，根据三角函数的值求角，求出点P的坐标，是解题的关键．