Question

设函数f（x）=|x²-2x|．
（1）画出f（x）=|x²-2x|在区间[-1，4]上函数f（x）的图象；并根据图象写出该函数在[-1，4]上的单调区间；
（2）试讨论方程f（x）=a在区间[-1，4]上实数根的情况，并加以简要说明．

Answer 1

分析：（1）去绝对值写出分段函数，然后利用二次函数作出部分草图，并由图象得到函数在[-1，4]上的单调区间；
（2）利用转化思想方法，结合图象得到方程f（x）=a在区间[-1，4]上实数根的情况．

解答：解：（1）f（x）=|x²-2x|=

x2-2x，(-1≤x≤0或2≤x≤4) -x2+2x，(0＜x＜2)

．
图象如图：

函数的减区间为[-1，0），[1，2）；
函数的增区间为[0，1），[2，4]．
（2）方程f（x）=a在区间[-1，4]上实数根，
即函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象在区间[-1，4]上交点的横坐标．
由图象看出：a＜0或a＞8时，方程无实数根；
3＜a≤8时，方程有一个实数根；
a=0或1＜a≤3时，方程有两个实数根；
a=1时，有三个实数根；
0＜a＜1时，方程有四个实数根．

点评：本题考查了函数图象的作法，考查了数学转化思想方法，训练了利用图象判断根的存在性及根的个数，是中档题．