Question

直线AB过抛物线x²=2py(p＞0)的焦点F，并与其相交于A、B两点，Q是线段AB的中点，M是抛物线的准线与y轴的交点，O是坐标原点．

(1)求的取值范围；

(2)过A、B两点分别作此抛物线的切线，两切线相交于N点，求证=0, .

Answer 1

(1)由条件M(0，)，F(0，)，设直线AB的方程为y=kx+，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)则=2py₁，=2py₂，Q（）.

由消去y并整理得x²-2pkx-p²=0．

根据韦达定理得x₁+x₂=2pk，x₁x₂=-p²．

进而有y₁y₂=，

y₁+y₂=k(x₁+x₂)+p=2pk²+p.

∴=(x₁，y₁+)·(x₂，y₂+)

=x₁x₂+y₁y₂+(y₁+y₂)+

=-p²++(2pk²+p)+

=p²k²≥0.

的取值范围 [0，+∞）．

(2)抛物线的方程可化为y=x²，求导得y′=x

从而k_NA= =，k_NB==．

∴切线NA的方程为y-(x-x₁)，即y=，

切线NB的方程为y-（x-x₂），即y=.

由解得

∴N(),

而x₁+x₂=2pk,x₁x₂=-p²,

∴N(pk,).

而M（0，），Q（）即（pk,pk²+），

∴=(pk,0) =(0,pk²+p),

又=(0, ),∴·=0，.