题目内容

已知函数f（x）=m+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴+…+a_nxⁿ+a_n+1xⁿ⁺¹，n∈N^*．
（I）若f（x）= $数学公式$ ．
①求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②若函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，求m的取值范围；
（II）当a_n= $数学公式$ 时，设函数f（x）的导函数为f'（x），令T_n= $数学公式$ ，证明：T_n≤f'（1）-1．

解：（I）由f（x）= $\text{[math]}$ ，f′（x）=x+x²
①曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率k=f′（1）=2
②f′（x）=x+x²=x（x+1）
由f′（x）＜0得-1＜x＜0
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞0
∵函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上
∴f（-1）＞0，f（0）＜0
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
（II）f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…+（n+1）a_n+1xⁿ，
∵f′（1）=a₁+2a₂+3a₃+4a₄+…+（n+1）a_n+1= $\text{[math]}$ ①
$\text{[math]}$ f′（1）= $\text{[math]}$ ②
①-②： $\text{[math]}$ f′（1）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴f′（1）= $\text{[math]}$
要证：T_n≤f'（1）-1．
即证： $\text{[math]}$
当n=1时，T₁=f'（1）-1=1
当n=2时， $\text{[math]}$ ，f'（1）-1= $\text{[math]}$ ，∴T_n＜f'（1）-1
当n≥3时， $\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$
∵n≥3，∴n（n-1）＞2，∴ $\text{[math]}$ ，∴2ⁿ＞n+3
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴当n≥3时， $\text{[math]}$ =f'（1）-1．
∴T_n≤f'（1）-1恒成立．
分析：（I）①由f（x）= $\text{[math]}$ ，可得f′（x）=x+x²，从而可求曲线y=f（x）上的点P（1，f（1））为切点的切线的斜率；
②f′（x）=x+x²=x（x+1），根据f′（x）＜0得-1＜x＜0，f′（x）＞0得x＜-1或x＞0，利用函数f（x）在x=x₁处取得极大值，在x=x₂处取得极小值，且点（x₁，f（x₁））在第二象限，点（x₂，f（x₂））位于y轴负半轴上，可得f（-1）＞0，f（0）＜0，从而可
求m的取值范围；
（II）先求导函数f′（x）=a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+…+（n+1）a_n+1xⁿ，再利用错位相减法求得f′（1）= $\text{[math]}$ ，进而分类讨论可证 $\text{[math]}$
点评：本题以函数为载体，考查导数的几何意义，考查函数的极值，同时考查数列与不等式的综合，难度较大，尤其（II）学生觉得无从下手．

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