Question

已知△ABC的面积S=

1

4

(b2+c2-a2)其中a，b，c分别为角A，B，C所对的边
（1）求角A的大小．
（2）若a=2，求

AB

•

AC

的最大值．

Answer 1

分析：（1）用三角形面积公式表示出S，利用题设等式建立等式，进而利用余弦定理求得2bccosA=b²+c²-a²，进而整理求得sinA和cosA的关系进而求得A．
（2）由余弦定理可知2bccosA=b²+c²-a²，结合a=2，A=45°，及基本不等式可以求出bc的范围，结合

AB

•

AC

=

2

2

bc求出答案．

解答：解：（1）由三角形面积公式可知S=

1

2

bcsinA，
∵S=

1

4

(b2+c2-a2)，
∴

1

2

bcsinA=

1

4

(b2+c2-a2)
由余弦定理可知2bccosA=b²+c²-a²
∴sinA=cosA，即tana=1，
又由A是三角形内角
∴A=45°
（2）∵由余弦定理可知2bccosA=b²+c²-a²，a=2，
即

2

bc=b²+c²-4≥2bc-4
∴（2-

2

）bc≤4
∴bc≤

4

2- 2

=4+2

2

∴

AB

•

AC

=|

AB

|•|

AC

|cosA=

2

2

bc≤2+2

2

故

AB

•

AC

的最大值为2+2

2

点评：本题考查的知识点是解三角形，平面向量的综合题，本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S，与已知的S相等，化简得到tanC的值．要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值．