Question

设函数y=f（x）的图象与函数y=g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x²+2x．
（1）求函数y=g（x）的解析式；
（2）解关于x的不等式：g(x)≥

1

|x-1|

-f(x)．

Answer 1

分析：（1）在y=g（x）上任取一点（x，y），它关于原点对称点为（-x，-y），再由（-x，-y）在y=f（x）上，求得函数y的解析式．
（2）不等式即：-x2+2x≥

1

|x-1|

-x2-2x，化简为 4x|x-1|≥1．可得

4x(x-1)≥1 x-1＞0

，或

-4x(x-1)≥1 x-1＜0

．分别解这两个不等式组，求得原不等式的解．

解答：解：（1）在y=g（x）上任取一点（x，y），它关于原点对称点为（-x，-y），
由题意可得，（-x，-y）在y=f（x）上，
∴-y=（-x）²+2（-x），即y=-x²+2x，
∴g（x）=-x²+2x．
（2）不等式即：-x2+2x≥

1

|x-1|

-x2-2x，
∴4x≥

1

|x-1|

，即 4x|x-1|≥1．
∴

4x(x-1)≥1 x-1＞0

，或   

-4x(x-1)≥1 x-1＜0

．
∴x≥

2 +1

2

，或x=

1

2

，
∴不等式解集为 {x|x≥

2 +1

2

或x=

1

2

}．

点评：本题主要考查函数的图象的对称性的应用，绝对值不等式的解法，属于中档题．