Question

如图，过半径为2的圆M上两点P、Q的切线相较于点T，自点P向平行于PQ的直径AB的两端各作一直线，这两条直线分别交垂直于PQ的直径所在直线于点R，S．试建立适当的直角坐标系用解析法证明：RT=ST．

Answer 1

分析：建立平面直角坐标系，写出圆的方程，设P坐标表示AP、BP的方程，求出R、S的横坐标，利用切线方程求出T的横坐标，分别求RT、ST即可．

解答：证明：如图，以圆心M为原点，平行于PQ的直径AB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系
则可得圆的方程x²+y²=4，A（0，2）、B（0，-2），
设P（x₀，y₀），则x₀²+y₀²=4．
直线AP的方程为：y=

y0-2

x0

x+2，令y=0得xR=

2x0

2-y0

，
直线BP的方程为：y=

y0+2

x0

x-2，令y=0得xS=

2x0

2+y0

，

∵切线PT方程为x₀x+y₀y=4，由对称性知点T在x轴上，
故令y=0得xT=

4

x0

∴RT=|x_R-x_T|=| 

2x0

2-y0

-

4

x0

|=|

y0(2-y0)

(2-y0)x0

| = |

y0

x0

|．
ST=|x_s-x_T|=|

2x0

2+y0

-

4

x0

|=|

y0(2+y0)

(2+y0)x0

| = |

y0

x0

|，
∴RT=ST．

点评：本题考查直线和圆的方程的应用，解析法解决平面几何问题的关键在于建系，设点、表示距离，是中档题．