Question

(本小题满分12分）已知函数（e为自然对数的底数).

(I )若函数有极值，求实数a的取值范围；

(II)若，求证：当x>0时，

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 由，可得，………………….2分

依题意，需方程在上有两个不等实根，

则：，…………………4分

解得： .           ……………………5分

(Ⅱ)若，   ,  

∴，

设，                         

，

,         ………………………7分

令 , 得.

当时，  ， 单调递减；

当时，  ， 单调递增；

∴  ,                  

∴  ,…………………9分

∵，∴ ，

∴在上单调递增，    ∵， 

∴ ，                        ……………………………11分

∵ ， ∴   ，

∴， 

即   .                               ……………………12分

【解析】(I)连续函数有极值，说明的方程有根。并且根两侧的导数值异号。根据这一点确定a的取值范围。

(II)把要证的不等式转化为:当x>0时，恒成立的问题。然后根据条件再构造函数求最值进行求证。