Question

在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为

x=-1+ 3t 5 y=-1+ 4 5 t

（t为参数）．若以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为ρ=

2

sin(θ+

π

4

)．则直线l被曲线C所截得的弦长为

41

5

．

Answer 1

分析：画直线的参数方程为普通方程，化圆极坐标方程为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理求出半弦长，则弦长可求．

解答：解：由

x=-1+ 3t 5 y=-1+ 4 5 t

，得4x-3y+1=0．
再由ρ=

2

sin(θ+

π

4

)，得ρ2=ρ

2

(sinθcos

π

4

+cosθsin

π

4

)．
即 ρ²=ρsinθ+ρcosθ．
所以曲线C的直角坐标方程为x²+y²=x+y．
化为标准方程得，(x-

1

2

)2+(y-

1

2

)2=

1

2

．
圆心为C（

1

2

，

1

2

），半径r=

2

2

．
圆心C到直线4x-3y+1=0的距离d=

|4× 1 2 -3× 1 2 +1|

42+(-3)2

=

3

10

．
则直线被圆截得的半弦长为

( 2 2 )2-( 3 10 )2

=

41

10

．
所以直线l被曲线C所截得的弦长为2×

41

10

=

41

5

．
故答案为

41

5

．

点评：本题考查了化参数方程为直角坐标方程，化极坐标方程为直角坐标方程，考查了直线与圆的位置关系，是中档题．