Question

【题目】已知点，分别在轴，轴上运动，，点在线段上，且.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）直线与交于，两点，，若直线，的斜率之和为2，直线是否恒过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）直线恒过定点

【解析】

（1）设，由此得出两点的坐标，根据列方程，化简后求得点的轨迹方程.

（2）设，，当直线斜率存在时，设直线的方程为，联立直线方程和轨迹的方程，写出判别式和韦达定理，根据直线，的斜率之和为2列方程，求得的关系式，由此判断直线过点.当直线斜率不存在时，同样利用直线，的斜率之和为2列方程，由此求得直线的方程，此时直线也过点，由此判断出直线恒过定点.

（1）设，

因为点在线段上，且，所以，，

因为，所以，即，

所以点的轨迹的方程为.

（2）设，，

当的斜率存在时，设：，

由得，

所以，即，

，，

因为直线，的斜率之和为2，所以，

所以，即，所以，

当时，满足，即，符合题意，

此时：恒过定点，

当的斜率不存在时，，，

因为直线，的斜率之和为2，所以，

所以，此时：，恒过定点，

综上，直线恒过定点.