Question

已知函数f（x）=x²（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，?x₁∈[-2，2]，?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，则实数a的取值范围是

[0，1]

．

Answer 1

分析：由已知中函数f（x）=x²（x∈[-2，2]），g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，我们易求出两个函数的值域A，B，又由?x₁∈[-2，2]?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，故B⊆A，由此构造关于a的不等式组，解不等式组，即可求出实数a的取值范围．

解答：解：∵函数f（x）=x²（x∈[-2，2]），
∴f（x）∈[0，4]
又∵g(x)=a2sin(2x+

π

6

)+3a(x∈[0，

π

2

])，
则g（x）∈[-

a2

2

+3a，a²+3a]
令A=[0，4]，B=[-

a2

2

+3a，a²+3a]
由，?x₁∈[-2，2]，?x0∈[0，

π

2

]，使得g（x₀）=f（x₁）成立，
则B⊆A
故

- a2 2 +3a≥0 a2+3a≤4 - a2 2 +3a≤a2+3a

解得0≤a≤1
即实数a的取值范围是[0，1]
故答案为：[0，1]

点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，三角函数的最值，集合的包含关系，其中根据已知条件判断出函数f（x）的值域A，与函数g（x）的值域B，存在B⊆A的关系，并进一步得到一个关于a的不等式组，是解答本题的关键．