Question

已知数列{a_n}中，a₁=8，a₄=2且满足a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|，求S₂₀；
（3）设bn=

4

n(14-an)

，Tn=b1+b2+…+bn(n∈N*)，是否存在最大的整数m，使得对任意n∈N^*，均有Tn＞

m

9

成立？若存在，求出m，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵a_n+2-2a_n+1+a_n=0（n∈N^*）
∴a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n
∴{a_n}为等差数列，
设其公差为d…（1分）
又a₁=8，a₄=2，∴8+3d=2，∴a₁=8，d=-2
∴a_n=-2n+10         …（3分）
（2）∵a_n=-2n+10，∴n≤5时，a_n≥0；n≥6时，a_n＜0…（4分）
∴n≥6时，S_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₅-a₆-…-a_n=2（a₁+…+a₅）-（a₁+…+a_n），
所以Sn=n2-9n+40…（7分）
∴S₂₀=260…（8分）
（3）由（1）可得bn=

4

n(2n+4)

=

1

n

-

1

n+2

则T_n=b₁+b₂+…+b_n=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

…（10分）
由T_n为关于n的增函数，故(Tn)min=T1=

2

3

，
于是欲使Tn＞

m

9

对n∈N*恒成立，则

m

9

＜

2

3

，∴m＜6
∴存在最大的整数m=5满足题意…（12分）