Question

【题目】已知函数

(1)求函数的最大值；

(2)令既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；

(3)求证：当以．

Answer 1

【答案】（1）1；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：

(1)由题意结合导函数的符号确定函数的单调性，据此可得函数的最大值为；

(2)原问题等价于一元二次方程在区间内有两个不相等的实数根，据此列出不等式组求解可得实数a的范围是；

(3)由题意结合(1)的结论指数裂项放缩即可证得题中的不等式.

试题解析：

(1) 函数定义域为，

∴当时,;当时,;

∴函数在区间上为增函数;在区间为减函数

所以

(2)，

既有极大值，又有极小值等价于方程在区间上有两个不相等的正根

即：解得.

所以所求实数a的取值范围是.

(3) 由（1）知当时，

所以。