Question

已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q．
（I）求椭圆C的方程；
（II）试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题设，∵椭圆经过点M（-2，-1），离心率为．
∴，①且=，②
由①、②解得a²=6，b²=3，
∴椭圆C的方程为．…（6分）
（Ⅱ）证明：记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
∵-2，x₁是该方程的两根，∴-2x₁=，即x₁=．
设直线MQ的方程为y+1=-k（x+2），同理得x₂=．…（9分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ====1，
因此直线PQ的斜率为定值．…（12分）
分析：（Ⅰ）根据椭圆经过点M（-2，-1），离心率为，确定几何量之间的关系，即可求得椭圆C的方程；
（Ⅱ）记P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），设直线MP的方程为y+1=k（x+2），与椭圆C的方程联立，求得x₁=，同理得x₂=，再利用k_PQ=，即可证得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，确定椭圆的方程，联立方程组是关键．