Question

（本小题满分12分）

已知椭圆经过点M（-2，-1），离心率为。过点M作倾斜角

 

互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q。

（I）求椭圆C的方程；

（II）能否为直角？证明你的结论；

（III）证明：直线PQ的斜率为定值，并求这个定值。

 

Answer 1

【答案】

解：

（Ⅰ）由题设，得＋＝1，                                                                     ①

 

且＝，                                                                               ②

 

由①、②解得a2＝6，b2＝3，

椭圆C的方程为＋＝1．………………………………………………………4分

 

（Ⅱ）记P(x1，y1)、Q(x2，y2)．

设直线MP的方程为y＋1＝k(x＋2)，与椭圆C的方程联立，得

(1＋2k2)x2＋(8k2－4k)x＋8k2－8k－4＝0，

－2，x1是该方程的两根，则－2x1＝，x1＝．

 

设直线MQ的方程为y＋1＝－k(x＋2)，

同理得x2＝．…………………………………………………………8分

 

因y1＋1＝k(x1＋2)，y2＋1＝－k(x2＋2)，

 

因此直线PQ的斜率为定值．……………………………………………………12分

 

【解析】略