Question

若函数f（x）=在上增函数，则实数a的取值范围是    ．

Answer 1

【答案】分析：分a＜0和a≥0 两种情况进行讨论，当a＜0时，单调递增，则必有≥0在上恒成立；
当a≥0时，f（x）=，则有f′（x）=≥0在上恒成立，从而可求出a的取值范围．
解答：解：（1）当a＜0时，单调递增，
①若时，≤0，则f（x）=-（）单调递减，与函数f（x）=在上是增函数不符；
②若时，有零点x，，则-＜x＜x时，＜0，f（x）=-（）单调递减，也与题意不符，
故必有≥0在上恒成立，即a≥-e^2x恒成立，
又时，-e^2x≤-=-，∴-≤a＜0．
（2）当a≥0时，f（x）=，f′（x）=，
∵f（x）在上是增函数，∴f′（x）=≥0在上恒成立，
即a≤e^2x，又e^2x≥=，所以0＜a≤，综上，实数a的取值范围为[-]．
故答案为：[-]．
点评：本题考查了函数的单调性，解决本题的难点在于函数解析式含有绝对值符号，故解决本题的关键在于去掉绝对值符号．