Question

选修4-5：不等式选讲a，b，c∈R⁺，求证：

a

b+c

+

b

c+a

+

c

a+b

≥

3

2

．

Answer 1

分析：左端变形

a

b+c

+1+

b

c+a

+1+

c

a+b

+1=(a+b+c)(

1

b+c

+

1

c+a

+

1

a+b

)∴只需证此式≥

9

2

即可，再由柯西不等式可证得．

解答：解：

证明∵ a b+c + b c+a + c C+b +3=( a b+c +1)+( b a+c +1)+( c c+b +1) =(a+b+c)( 1 b+c + 1 c+a + 1 a+b ) = 1 2 [(b+c)+(c+a)+(a+b)]( 1 b+c + 1 c+a + 1 a+b )≥ 1 2 (1+1+1)2= 9 2

∴

a

b+c

+1+

b

c+a

+1+

c

a+b

+1≥

9

2

∴

a

b+c

+

b

a+c

+

c

a+b

≥

9

2

-3=

3

2

  即证．

点评：此题考查了柯西不等式的应用，即(a+b+c)(

1

a

+

1

b

+

1

c

)≥9=(1+1+1)2其中a、b、c∈R⁺．