Question

【题目】各项均为正数的数列的前项和为，且对任意正整数，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）如果等比数列共有2016项，其首项与公比均为2，在数列的每相邻两项与之间插入个后，得到一个新的数列．求数列中所有项的和；

（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）存在，

【解析】

（1）运用数列的通项和前项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；

（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；

（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．

解：（1）当时，由得，

当时，由，得

，

因数列的各项均为正数，所以，

所以数列是首项与公差均为1的等差数列，

所以数列的通项公式为．

（2）数列的通项公式为.

数列中一共有项，其所有项的和为

.

（3） 由得

，，

记，，，

因为，当取等号，所以取不到，

当时，的最小值为，

递减，的最大值为.

所以如果存在，使不等式成立，

实数应满足，即实数的范围应为．