Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA=

1

4

，a=4．
（1）若b+c=6，且b＜c，求b，c的值．
（2）求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理列出关系式，将a与cosA的值代入并利用完全平方公式变形，求出bc的值，与b+c的值联立即可求出b与c的值；
（2）利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式变形求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．

解答：解　（1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴16=（b+c）²-2bc-

1

2

bc
∴bc=8，
又∵b+c=6，b＜c，
解方程组

b+c=6 bc=8

，得b=2，c=4或b=4，c=2（舍）．
∴b=2，c=4；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA，
∴16=b²+c²-

1

2

bc，
∵b²+c²≥2bc，
∴bc≤

32

3

，
∵sinA=

15

4

，
∴（S_△ABC）_max=

4 15

3

，此时b=c=

16

3

．

点评：此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．