Question

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，A为上顶点，AF₁交椭圆E于另一点B，且△ABF₂的周长为8，点F₂到直线AB的距离为2．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）求过D（1，0）作椭圆E的两条互相垂直的弦，M、N分别为两弦的中点，求证：直线MN经过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8?a=2，再由点F₂到直线AB的距离d=

|bc+bc|

b2+c2

=

2bc

a

=bc=2，可以求出椭圆E的标准方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）由题设条件可知M(

2

m2+2

，

-m

m2+2

)，同理N(

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

)，由此可推导出直线MN过定点(

2

3

，0)

解答：解：（I）AB+AF₂+BF₂=（AF₁+AF₂）+（BF₁+BF₂）=4a=8，∴a=2
设c=

a2-b2

，因为A（0，b），
∴直线AB的方程为

x

-c

+

y

b

=1，即bx-cy+bc=0，
∴点F₂到直线AB的距离d=

|bc+bc|

b2+c2

=

2bc

a

=bc=2，b=

2

，c=

2

，
∴椭圆E的标准方程：

x2

4

+

y2

2

=1．
（II）设以M为中点的弦与椭圆交于（x₁，y₁），（x₂，y₂），则x1+x2=(my1-1)+(my2+1)=m(y1+y2)+2=

-2m2

m2+2

+2=

4

m2+2

∴M(

2

m2+2

，

-m

m2+2

)，同理N(

2m2

2m2+1

，

m

2m2+1

)，
∴KMN=

m 1+2m2 + m 2+m2

2m2 1+2m2 - 2 2+m2

=

3m

2(m2-1)

，MN：y+

m

2+m2

=

3m

2(m2-1)

(x-

2

2+m2

)，
整理得y=

3m

2(m2-1)

(x-

2

3

)，
∴直线MN过定点(

2

3

，0)．
当直线P₁Q₁的斜率不存在或为零时，P₁Q₁、P₂Q₂的中点为点D及原点O，直线MN为x轴，
也过此定点，
∴直线MN过定点(

2

3

，0)．

点评：本题主要考查直线、椭圆的基础知识，考查函数与方程思想、分别事整合思想及化归与转化思想．