Question

【题目】已知函数．

（1）试判断f （x）的单调性，并证明你的结论；

（2）若f （x）为定义域上的奇函数，求函数f （x）的值域．

Answer 1

【答案】（1）增函数，证明见解析；（2）.

【解析】

（1）f （x）是增函数，利用单调性的定义进行证明；

（2）用奇函数的性质先求出a，再求函数f （x）的值域．

（1）f （x）是增函数．

证明如下：函数f （x）的定义域为（﹣∞，+∞），且

任取x1，x2∈（﹣∞，+∞），且x1＜x2，

则．

因为y＝2x在R上单调递增，且x1＜x2，

所以,,,,

所以f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），

所以f（x）在（﹣∞，+∞）上是单调增函数．

（2）因为f（x）是定义域上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），

即对任意实数x恒成立，化简得,

所以2a﹣2＝0，即a＝1．所以，

因为2x+1＞1，所以，可得，则．

故函数f （x）的值域为（﹣1，1）．