Question

已知体积为4

3

π的球的表面上有A，B，C三点，且AB=1，BC=

2

，A，C两点的球面距离为

3

3

π，求球心到平面ABC的距离．

Answer 1

分析：设球的半径为R，通过球的体积求出球的半径，设A、C两点对球心张角为θ，利用球面距离求出AC，说明AC为ABC所在平面的小圆的直径，∠ABC=90°，设ABC所在平面的小圆圆心为O′，求出球心到平面ABC的距离．

解答：解：设球的半径为R，则V=

4

3

πR3=4

3

π，（4分）
∴R=

3

．（5分）
设A、C两点对球心张角为θ，则

AC

=Rθ=

3

θ=

3

3

π，（7分）
∴θ=

π

3

，（8分）
∴AC=

3

，（9分）
∴AC为ABC所在平面的小圆的直径，（10分）
∴∠ABC=90°，设ABC所在平面的小圆圆心为O′，
则球心到平面ABC的距离为d=OO'=

R2-BO′2

=

3-( 3 2 )2

=

3

2

．（12分）

点评：本题是中档题，考查球的内接多面体的应该知识，能够说明AC是ABC所在平面的小圆的直径是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．