Question

14．设函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）+\sqrt{3}-2\sqrt{3}{cos^2}$x．
（1）求f（x）的最小正周期及其图象的对称中心；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性以及它的图象的对称性，求得f（x）的最小正周期及其图象的对称中心．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x-\sqrt{3}cos2x$=$\frac{1}{2}sin2x-\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x$=$sin（{2x-\frac{π}{3}}）$，
所以f（x）的最小正周期为$T=\frac{2π}{2}=π$．
令$2x-\frac{π}{3}=kπ（{k∈Z}）$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{6}$，可得函数的图象对称中心为$（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}，0}）（{k∈Z}）$．
（2）令$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}（{k∈Z}）$，解得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}（{k∈Z}）$，
所以f（x）的单调递增区间为$[{kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}}]（{k∈Z}）$．

点评 本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的周期性和单调性，以及它的图象的对称性，属于中档题．