Question

设正数数列{a_n}的前n项和S_n满足Sn=

1

4

(an+1)2．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）设bn=

1

an•an+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意知a₁=1.an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，由此能够推导出a_n．
（Ⅱ）由题意知T_n=b₁+b₂++b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，
∴a₁=1．（2分）
∵Sn=

1

4

(an+1)2，①
∴Sn-1=

1

4

(an-1+1)2（n≥2）．②
①-②，得an=Sn-Sn-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，
整理得，（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，（5分）
∵a_n＞0
∴a_n+a_n-1＞0．
∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2（n≥2）．（7分）
故数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=2n-1．（9分）
（Ⅱ）∵bn=

1

an•an+1

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，（11分）
∴T_n=b₁+b₂+b_n=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)++

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

1

2

(1-

1

2n+1

)=

n

2n+1

． （14分）

点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要注意挖掘隐含条件，认真审题，仔细解答．