Question

12．已知函数f（x）=kxlnx（k≠0）有极小值$-\frac{1}{e}$．
（1）求实数k的值；
（2）设函数g（x）=x-2e^x-1，证明：当x＞0时，e^xf（x）＞g（x）．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论k的符号，求出函数的单调区间，结合函数有极小值$-\frac{1}{e}$，求出k的值即可；
（2）问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞）．由（1）知f（x）=xlnx的最小值，设G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），利用导数研究其单调性极值与最大值，只要证明：f_min（x）＞G_max（x）即可．

解答 解：（1）f′（x）=k（lnx+1），
k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递增，
∴f（x）_极小值=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{k}{e}$=-$\frac{1}{e}$，解得：k=1，
k＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜$\frac{1}{e}$，令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{e}$，
f（x）在（0，$\frac{1}{e}$）递增，在（$\frac{1}{e}$，+∞）递减，
∴x=$\frac{1}{e}$是极大值点，不合题意，
故k=1；
（2）由（1）得：f（x）=xlnx，从而x＞0时：
问题等价于证明xlnx＞$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞）．
由（1）得f（x）=xlnx的最小值是f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$，
当且仅当x=$\frac{1}{e}$时取到，
设G（x）=$\frac{x}{{e}^{x}}$-$\frac{2}{e}$，x∈（0，+∞），则G′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$，
易知G_max（x）=G（1）=-$\frac{1}{e}$，当且仅当x=1时取到，
f（x）取最小值和G（x）取最大值的x的值不相等，
从而可知对一切x∈（0，+∞），都有e^xf（x）＞g（x）成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化方法，考查了分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力．