Question

如图所示，已知ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AD=2．
（1）求异面直线PC与BD所成的角；
（2）在线段PB上是否存在一点E，使PC⊥平面ADE？若存在，确定E点的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：（1）通过建立空间直角坐标系，先求出两条异面直线的方向向量的夹角，进而即可得出此异面直线所成的角；
（2）假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE，利用向量共线的充要条件和线面垂直的定理即可求出点E的坐标．

解答：解：（1）如图所示，分别以DA、DC、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2），
∴

PC

=(0，2，-2)，

DB

=(2，2，0)，
∴cos＜

DB

，

PC

＞=

DB • PC

| DB | | PC |

=

4

22+22 22+(-2)2

=

1

2

，
∵＜

DB

，

PC

＞∈[0，π]，
∴＜

DB

，

PC

＞=60°，
因此异面直线DB与PC所成的角为60°．
（2）在线段PB上存在一点E为线段PB的中点，使PC⊥平面ADE．
下面给出证明：
假设在线段PB上存在一点E，使PC⊥平面ADE．
如图所示的坐标系中，A（2，0，0），
∵P、E、B三点共线，∴可设

PE

=λ

PB

，
则

OE

=

OP

+λ

PB

=（0，0，2）+λ（2，2，-2）=（2λ，2λ，2-2λ），即E（2λ，2λ，2-2λ）．
∵

PC

•

AD

=0，∴

PC

⊥

AD

，
又PC⊥DE，∴

PC

•

DE

=0，即0+2×2λ-2×（2-2λ）=0，解得λ=

1

2

，
∴E（1，1，1）．
即点E为线段PB的中点．

点评：熟练掌握：通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角；及利用向量共线的充要条件和线面垂直的定理证明是否满足条件的点存在．