Question

【题目】已知动圆P恒过定点，且与直线相切．

（Ⅰ）求动圆P圆心的轨迹M的方程；

（Ⅱ）正方形ABCD中，一条边AB在直线y＝x＋4上，另外两点C、D在轨迹M上，求正方形的面积．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）或

【解析】

（1）根据题意及抛物线的定义可得轨迹的方程为；（2）设边所在直线方程为，代入抛物线方程后得到关于的二次方程，进而由根与系数的关系可得，又由两平行线间的距离公式可得，由求出或，于是可得正方形的边长，进而可得其面积．

（1）由题意得动圆的圆心到点的距离与它到直线的距离相等，

所以圆心的轨迹是以为焦点，以为准线的抛物线，且，

所以圆心的轨迹方程为．

（2）由题意设边所在直线方程为，

由消去整理得，

∵直线和抛物线交于两点，

∴，解得．

设，，

则.

∴．

又直线与直线间的距离为，

∵，

∴ ，解得或，

经检验和都满足．

∴正方形边长或，

∴正方形的面积或．