Question

（2010•湖北模拟）如图在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，过D与PB垂直的平面分别交PB、PC于F、E．PD=DC．
（1）求证：DE⊥PC
（2）求证：PA∥平面EDB；
（3）求二面角C-PB-D的大小．

Answer 1

分析：（1）由PB⊥平面DEF，知PB⊥DE，由PD⊥平面ABCD，BC⊥DC，知BC⊥面PDC．由此能够证明DE⊥PC．
（2）连AC交BD于O，则O为AC的中点，E为PC的中点，EO∥PA．由PA?平面EDBEO?平面EDB，知PA∥平面EDB．
（3）设PD=DC=a，取DC的中点H，作HG∥CO交BD于G，则HG⊥DB，EH∥PD，EH⊥平面CDB．由三垂线定理知EG⊥BD，故∠EGH为二面角E-BD-C的一个二面角．由此能求出二面角E-BD-C的正切值．

解答：解：（1）证明：∵PB⊥平面DEF∴PB⊥DE…（1分）
又∵PD⊥平面ABCD
又∵BC⊥DC∴BC⊥面PDC…（2分）
∴DE?平面PDC∴BC⊥DE
从而DE⊥平面PBC…（4分）
∴DE⊥PC…（5分）
（2）证明：连AC交BD于O，则O为AC的中点，
∴E为PC的中点，
∴EO∥PA…（6分）
又∵PA?平面EDBEO?平面EDB，
∴PA∥平面EDB…（8分）
（3）设PD=DC=1，∵在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=DA=1，BD=

2

，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（0，0，0），B（1，1，0），P（0，0，1），C（0，1，0），
∴

DP

=(0，0，1)，

DB

=(1，1，0)，

PC

=(0，1，-1)，

PB

=(1，1，-1)，
设面PBD的法向量为

n1

=(x1，y1，z1)，则

z1=0 x1+y1 =0

，∴

n1

=(1，-1，0)，
设面PBC的法向量为

n2

=(x2，y2，z2)，则

y2-z2=0 x2+y2-z2=0

，∴

n2

=(0，1，1)，
设二面角C-PB-D的平面角为θ，则cosθ=

|0-1+0|

2 × 2

=

1

2

，θ=60°，
∴二面角C-PB-D的大小为60°．

点评：本题考查立体几何问题的综合应用，难度较大．解题时要认真审题，仔细观察，注意合理地进行等价转化，把立体问题转化为平面问题进行求解．