Question

如图，在多面体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD为等腰梯形，且AB∥CD，棱AA₁，BB₁，CC_l，DD_l垂直于面ABCD，AB=4，CD=2，CC₁=DD_l=2，BBl=AA_l=4，E为AB的中点．
（1）求证：C_IE∥面AA₁D_lD；
（2）当BC=2时，求证：面C₁EC⊥面B_lBDD_l；
（3）在第（2）条件下，求面ABCD与面A₁B₁C₁D₁所成锐二面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AD₁，由C₁C⊥面ABCD，知D₁D⊥面ABCD，所以C₁C∥D₁D，由C₁C=D₁D=2，知四边形C₁D₁AE为平行四边形，由此能证明EC₁∥面AA₁D₁D．
（2）连接ED，则四边形EBCD为平行四边形，当BC=2时，BC=BE，平行四边形EBCD为菱形，所以EC⊥BD，由B₁B⊥面ABCD，B₁B⊥EC，能证明面C₁EC⊥面B_lBDD_l．
（3）延长BC，B₁C₁，交于点P，则

PC

PB

=

C1C

B1C

=

2

4

，故PC=2，延长AD交BC于点P′．同理，

P′C

PB

=

CD

AD

=

2

4

，故P′C=

1

2

PB，故点P与点P‘重合，BC，B₁C₁，AD延长线交于一点P，同理，BC，B₁C₁，A₁D₁，AD延长线相交于同一点P，由此入手能够求出tan∠EPF的值．

解答：（1）证明：连接AD₁，
∵C₁C⊥面ABCD，D₁D⊥面ABCD，
∴C₁C∥D₁D，
∵C₁C=D₁D=2，
∴四边形C₁D₁AE为平行四边形，
∴EC₁∥AD₁，
∵EC₁?面AA₁D₁D，AD₁?面AA₁D₁D，
∴EC₁∥面AA₁D₁D．
（2）连接ED，则四边形EBCD为平行四边形，
当BC=2时，BC=BE，
平行四边形EBCD为菱形，
∴EC⊥BD，
∵B₁B⊥面ABCD，B₁B⊥EC，又B₁B∩BD=B，
∴EC⊥面B₁BDD₁，
∴面C₁EC⊥面B_lBDD_l．
（3）延长BC，B₁C₁，交于点P，则

PC

PB

=

C1C

B1C

=

2

4

，
∴PC=

1

2

PB，∵BC=2，∴PC=2，
延长AD交BC于点P′．
同理，

P′C

PB

=

CD

AD

=

2

4

，
∴P′C=

1

2

PB，
∴点P与点P‘重合，
∴BC，B₁C₁，AD延长线交于一点P，
同理，BC，B₁C₁，A₁D₁，AD延长线相交于同一点P，
过点P作直线l∥CD，则l为面ABCD和面A₁B₁C₁D₁的交线，
取A₁B₁中点F，连接EF，EP，FP，
∴PB=PA=4，
E为AB中点，
∴PE⊥AB，∴PE⊥l，
同理，PF⊥l，∠EPF为二面角A-l-A₁的平面角，
在Rt△PEF中，PE=

3

2

AB=

3

，
EF=BB₁=4，
∴tan∠EPF=

EF

PE

=

4

2 3

=

2 3

3

．

点评：本题考查二面角的平面角及其求法，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．