Question

8．数列{a_n}对任意的n∈N^*，满足a_n+1=a_n +1，a₁=12．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n =（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$+n，求数列{b_n}的通项公式及前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）b_n =$（\frac{1}{3}）^{n+11}$+n，利用等差数列与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}对任意的n∈N^*，满足a_n+1=a_n +1即a_n+1-a_n =1，a₁=12．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为12，公差为1．
∴a_n=12+（n-1）×1=n+11．
（2）b_n =（$\frac{1}{3}$）${\;}^{{a}_{n}}$+n=$（\frac{1}{3}）^{n+11}$+n，
∴数列{b_n}的前n项和=$\frac{（\frac{1}{3}）^{12}[1-（\frac{1}{3}）^{n}]}{1-\frac{1}{3}}$+$\frac{n（1+n）}{2}$
=$\frac{1}{2×{3}^{11}}$$[1-（\frac{1}{3}）^{n}]$+$\frac{n（1+n）}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．