Question

（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，四边形ABDC内接于圆，，过C点的圆的切线与AB的延长线交于E点.

（1）求证：；

（2）若，，，求AB的长.

Answer 1

（1）证明详见解析；（2）.

【解析】

试题分析：本题主要考查圆内接四边形中的边角关系、切割线定理等基础知识，同时考查考生的读图能力、推理论证能力、运算求解能力. 第一问，由于CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD，而BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD，从而∠ECD＝∠BCD，所以可得到结论；第二问，因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，可得AC＝AB，所以得知AC＝EC，利用切割线定理得EC2＝AEBE，再转化可解出AB的长.

试题解析：（Ⅰ）证明：因为BD＝CD，所以∠BCD＝∠CBD．

因为CE是圆的切线，所以∠ECD＝∠CBD．

所以∠ECD＝∠BCD，所以∠BCE＝2∠ECD．

因为∠EAC＝∠BCE，所以∠EAC＝2∠ECD． 5分

（Ⅱ）【解析】
因为BD⊥AB，所以AC⊥CD，AC＝AB．

因为BC＝BE，所以∠BEC＝∠BCE＝∠EAC，所以AC＝EC．

由切割线定理得EC2＝AEBE，即AB2＝AE( AE－AB)，即

AB2＋2 AB－4＝0，解得． 10分

考点：圆内接四边形中的边角关系、切割线定理