Question

（本题满分10分）　在长方体中，分别是的中点，
，.
（Ⅰ）求证：//平面；
（Ⅱ）在线段上是否存在点，使直线与垂直，
如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由.

Answer 1

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.

试题分析：（1）根据已知中的长方体的性质，结合线线平行，得到线面平行的证明。
（2）由于根据已知条件可知线A₁D₁垂直于平面CD₁,进而利用性质定理得到线线垂直，相似来求解长度。
解：（Ⅰ）连接，在长方体中，
,则四边形是平行四边形，∴,又∵分别是的中点∴,∴，又面，面，
∴//平面(3分)
（Ⅱ）在平面中作交于，过作交于点，连  ∵
而又
∵
 ∽

为直角梯形，且高
.（10分）
点评：解决该试题的关键是熟练的利用线面平行的判定定理，得到线线平行进而得到证明，同时线面的垂直，结合相似得到求解。