Question

6．已知点A（-2，0），B（2，0），动点P满足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差数列．
（1）证明动点P的轨迹是双曲线，并求出双曲线的方程；
（2）若直线y=kx+m（k≠0．m≠0）与双曲线交于不同的两个点C，D，且C，D两点都在以Q（0，-1）为圆心的同一圆上，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）动点P满足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差数列．可得$|\overrightarrow{PA}|$-$|\overrightarrow{PB}|$=2$\sqrt{3}$＜4=|AB|，利用双曲线的定义即可得出；
（2）设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段CD的中点为M（x₀，y₀）．与双曲线联立化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，由△＞0，可得m²+1＞3k²．利用根与系数的关系及其中点坐标公式可得x₀，y₀．由于C，D两点都在以Q（0，-1）为圆心的同一圆上，可得k•k_OM=-1，化简整理即可得出．

解答 （1）证明：∵动点P满足|$\overrightarrow{PB}$|，$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{PA}$|，2$\sqrt{3}$成等差数列．
∴$2×\frac{1}{2}$$|\overrightarrow{PA}|$=$|\overrightarrow{PB}|$+2$\sqrt{3}$，∴$|\overrightarrow{PA}|$-$|\overrightarrow{PB}|$=2$\sqrt{3}$＜4=|AB|，
∴动点P的轨迹是双曲线的一支，
c=2，a=$\sqrt{3}$，b²=c²-a²=1．
方程为$\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}$=1（x＞0）；
（2）解：设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），线段CD的中点为M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}-3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化为（1-3k²）x²-6kmx-3m²-3=0，
△＞0，化为m²+1＞3k²．
∴x₁+x₂=$\frac{6km}{1-3{k}^{2}}$，∴x₀=$\frac{3km}{1-3{k}^{2}}$．
y₀=kx₀+m=$\frac{m}{1-3{k}^{2}}$，
∴k_OM=$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{m+1-3{k}^{2}}{3km}$．
∵C，D两点都在以Q（0，-1）为圆心的同一圆上，
∴k•k_OM=-1=$k•\frac{m+1-3{k}^{2}}{3km}$，
化为4m+1=3k²，
∴4m+1＜m²+1，
解得m＞4或m＜0．
∴m的取值范围是（-∞，0）∪（4，+∞）．

点评 本题考查了双曲线的定义标准方程及其性质、直线与双曲线相交问题转化为方程联立可得△＞0及其根与系数的关系、中点坐标公式、圆的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．