Question

如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD 为矩形，AB=8，AD=4，侧面PAD为等边三角形，并且与底面所成二面角为60°.

（Ⅰ）求四棱锥P—ABCD的体积；

（Ⅱ）证明PA⊥BD.

 

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）如图1，取AD的中点E，连结PE，则PE⊥AD. 作PO⊥平面在ABCD，垂足为O，连结OE. 根据三垂线定理的逆定理得OE⊥AD， 所以∠PEO为侧面PAD与底面所成的二面角的平面角， 由已知条件可知∠PEO=60°，PE=6， 所以PO=3，四棱锥P—ABCD的体积 VP—ABCD= （Ⅱ）解法一：如图1，以O为原点建立空间直角坐标系.通过计算可得 P（0，0，3），A（2，－3，0），B（2，5，0），D（－2，－3，0） 所以 因为 所以PA⊥BD. 解法二：如图2，连结AO，延长AO交BD于点F.通过计算可得EO=3，AE=2， 又知AD=4，AB=8， 得 所以  Rt△AEO∽Rt△BAD.         得∠EAO=∠ABD.         所以∠EAO+∠ADF=90°    所以  AF⊥BD.    因为  直线AF为直线PA在平面ABCD 内的身影，所以PA⊥BD.