Question

已知(b-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-b)log_mz=0且a,b,c构成公差不为零的等差数列,求证:x,y,z成等比数列.

Answer 1

思路分析:要证x,y,z成等比数列,需由条件推出y²=xz.

    证法一:∵a,b,c成等差数列,∴b=.

    又∵(b-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-b)·log_mz=0,

∴(-c)log_mx+(c-a)log_my+(a-)log_mz=0.

∴(a-c)(log_mx-2log_my+log_mz)=0.

∵a,b,c的公差不为零,∴a-c≠0.

∴log_mx-2log_my+log_mz=0.

∴log_my²=log_mxz.

∴y²=xz.

    又由题设知,x,y,z均不为零,

∴x,y,z成等比数列.

    证法二:设等差数列a,b,c的公差为d(d≠0),则b-c=-d,c-a=2d,a-b=-d,代入已知条件式,得-d(log_ax-2log_my+log_mz)=0.

∵d≠0,∴log_mx-2log_my+log_mz=0.

∴log_my²=log_mxz.

∴y²=xz.

∵由题设知x,y,z均不为0,

∴x,y,z成等比数列.