Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ） 设b_n=

2

anan+1

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）①．当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②，两式相减，得出数列的递推关系式，再求通项公式．
（Ⅱ）  b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)裂项后求和，

解答：解：（Ⅰ）S_n=na_n-n（n-1）（n∈N^*）①．
当n≥2时，S_n-1=（n-1）a_n-1-（n-1）（n-2）②
①-②得a_n=na_n-（n-1）a_n-1-（n-1）×2
移向，两边同除以n-1得出a_n-a _n-1=2
所以数列{a_n}是以2为公差的等差数列，
通项公式为a_n=a₁+2（n-1）=2n-1
（Ⅱ） b_n=

2

anan+1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

4

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
T_n=

1

4

[(

1

1

-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

1

4

（1-

1

2n+1

）
=

2n

2n+1

点评：本题考查了数列通项公式求解，裂项求和法，考查转化，计算能力．