Question

某公司为帮助尚有26.8万元无息贷款没有偿还的残疾人商店，借出20万元将该商店改建成经营状况良好的某种消费品专卖店，并约定用该店经营的利润逐步偿还债务（所有债务均不计利息）．
已知该种消费品的进价为每件40元；该店每月销量q（百件）与销售价p（元/件）之间的关系用下图中的一条折线（实线）表示；职工每人每月工资为600元，该店应交付的其他费用为每月13200元．
（1）若当销售价p为52元/件时，该店正好收支平衡，求该店的职工人数；
（2）若该店只安排40名职工，则该店最早可在几年后还清所有债务，此时每件消费品的价格定为多少元？

Answer 1

分析：（1）依题意，当40≤p≤58时，p、q的关系为：-2p+140=q，据此当p=52时，可求得q，设此时该店的职工人数为m，利用该店正好收支平衡可求得该店的职工人数；
（2）由图可得q与p的关系式q=

-2p+140，(40≤p≤58) -p+82，(58＜p≤81)

，设该店月收入为S，对p分①当40≤p≤58与②58＜p≤81时求得各自的最大收入，比较后可得答案．

解答：解：（1）由图可知：当40≤p≤58时，p、q的关系为：-2p+140=q；
当p=52时，q=36．
设此时该店的职工人数为m，
则：3800（52-40）=600m+13200，
解得：m=54，即该店的职工人数为54人．
（2）由图可知：q=

-2p+140，(40≤p≤58) -p+82，(58＜p≤81)

，
设该店月收入为S，
则①当40≤p≤58时，
S=100（p-40）（-2p+140）-13200-600×40=-200（p-55）²+7800，
即当p=55时，最大月收入S₁=7800．
②当58＜p≤81时，
S=100（p-40）（-p+82）-13200-600×40=-100（p-61）²+6900，
即当p=61时，最大月收入S₂=6900．
由于S₁＞S₂，故当p=55时，还清所有债务的时间t最短，且t=（26.8+20）×10000÷12S₁=5，
即当每件消费品的价格定为55元时，该店可在最短5年内还清债务．

点评：本题考查分段函数的应用，突出考查二次函数的最值，考查配方法，考查分类讨论思想与运算能力，属于难题．