Question

（2012•茂名二模）在平面直角坐标系xoy中，动点M到定点F（0，

1

4

）的距离比它到x轴的距离大

1

4

，设动点M的轨迹是曲线E．
（1）求曲线E的轨迹方程；
（2）设直线l：x-y+2=0与曲线E相交于A、B两点，已知圆C经过原点O和A，B两点，求圆C的方程，并判断点M（0，4）关于直线l的对称点M′是否在圆C上．

Answer 1

分析：（1）由动点M到定点F（0，

1

4

）的距离比它到x轴的距离大

1

4

，可得动点M到定点F（0，

1

4

）的距离等于它到定直线x=-

1

4

的距离，从而可得曲线E的轨迹方程；
（2）由

x-y+2=0 x2=y

，求得A，B的坐标，假设过原点与点A、B的圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入可得圆C的方程，求出点M（0，4）关于直线l的对称点M′的坐标，代入验证，即可得到结论．

解答：解：（1）由已知，动点M到定点F（0，

1

4

）的距离比它到x轴的距离大

1

4

，
∴动点M到定点F（0，

1

4

）的距离等于它到定直线x=-

1

4

的距离，…（2分）
∴动点M的轨迹曲线E是顶点在原点，焦点为F（0，

1

4

）的抛物线和点（0，-

1

4

）…（4分）
∴曲线E的轨迹方程为x²=y和x=0（y＜0）．…（6分）
（2）由

x-y+2=0 x2=y

，解得

x=-1 y=1

或

x=2 y=4

           …（8分）
即A（-1，1），B（2，4）
设过原点与点A、B的圆C的方程为x²+y²+Dx+Ey+F=0，
则

F=0 1+1-D+E+F=0 4+16+2D+4E+F=0

，解得

D=-2 E=-4 F=0

∴圆C的方程为x²+y²-2x-4y=0，即（x-1）²+（y-2）²=5 …（10分）
由上可知，过点M（0，4）且与直线l垂直的直线MM′方程为：y=-x+4
解方程组

y=-x+4 x-y+2=0

，得

x=1 y=3

，即线段MM′中点坐标为H（1，3）…（12分）
从而得点M（0，4）关于直线l的对称点M′的坐标为M′（2，2）
把M′（2，2）代入，可得（x-1）²+（y-2）²≠5 
∴点M′（2，2）不在圆C上．…（14分）

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力