题目内容
已知函数f（x）对一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）函数g（x）=xf（x+x）在[0，2]上何处取得极值，最值是多少？
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的解析式；
（3）函数g（x）=xf（x+x）在[0，2]上何处取得极值，最值是多少？
分析：（1）令x=1，y=0，结合f（1）=0，可求f（0）的值；
（2）令y=0，可求函数的解析式；
（3）函数g（x）=xf（x）+x=x3+x2-x，求导函数，确定g（x）在[0，2]上先减后增，由此可得结论．
（2）令y=0，可求函数的解析式；
（3）函数g（x）=xf（x）+x=x3+x2-x，求导函数，确定g（x）在[0，2]上先减后增，由此可得结论．
解答：解：（1）令x=1，y=0，则f（1）-f（0）=2
∵f（1）=0，∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2
（3）函数g（x）=xf（x）+x=x3+x2-x，求导函数可得g′（x）=3x2+2x-1
∴当0＜x＜
时，g′（x）＜0，当
＜x＜2时，g′（x）＞0，
∴g（x）在[0，2]上先减后增，
∴g（x）max=g（2）=10，g（x）min=g（
）=-
∵f（1）=0，∴f（0）=-2
（2）令y=0，则f（x）=f（0）+x（x+1）=x2+x-2
（3）函数g（x）=xf（x）+x=x3+x2-x，求导函数可得g′（x）=3x2+2x-1
∴当0＜x＜
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∴g（x）在[0，2]上先减后增，
∴g（x）max=g（2）=10，g（x）min=g（
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点评：本题考查赋值法的运用，考查利用导数求函数的最值，属于中档题．
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