Question

【题目】如图，四边形是梯形，四边形是矩形，且平面平面，，，是的中点.

（1）证明：平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）连接,交于,连接,在中利用中位线的性质求证即可；

（2）由题易证得两两垂直,则以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,分别求得平面与平面的法向量,利用数量积求解即可.

（1）证明:连接,交于,连接,如图所示,

因为四边形是矩形,所以是的中点,

由于是的中点,

所以,

由于平面,平面,

所以平面.

（2）因为平面平面,平面平面,,

所以平面,

可知两两垂直,

以点为原点,分别以的方向为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,

因为,则,,

所以,,

设平面的法向量为,

则,所以,

取,则,

依题意,得平面的一个法向量为,

,

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.