Question

已知函数f（x）=x²-2ax+a²-1．
（1）若f（1）=3，求实数a的值；
（2）若函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；
（3）当x∈[-1，1]时，求函数f（x）的最小值g（a）．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数的解析式，将x=1，y=3代入构造a的方程，解方程可得答案．
（2）分析出函数的图象形状及对称轴位置，根据函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，得到区间在对称轴同侧，得到答案；
（3）分别讨论区间在对称轴左侧，右侧，两侧的情况，求出对应的最小值，最后综合讨论结果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）=x²-2ax+a²-1．
又∵f（1）=3，
即1-2a+a²-1=3
即a²-2a-3=0
解得a=-1，或a=3
（2）∵函数f（x）=x²-2ax+a²-1的图象是开口向上，且以x=a为对称轴的抛物线
又∵函数f（x）在区间[0，2]上是单调的，
则区间[0，2]在对称轴的同一侧
故a≤0或a≥2
（3）当a≤-1时，函数在[-1，1]为增函数，此时函数f（x）的最小值g（a）=f（-1）=a²+2a
当-1＜a＜1时，函数在[-1，a]上递减，在[a，1]为增函数，此时函数f（x）的最小值g（a）=f（a）=-1
当a≥1时，函数在[-1，1]为减函数，此时函数f（x）的最小值g（a）=f（1）=a²-2a
故g（a）=

a2+2a，a≤-1 1，-1＜a＜1 a2-2a，a≥1

点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答本题的关键．