题目内容

设椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为A，过点A与AF₂垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且2 $数学公式$ + $数学公式$ = $数学公式$ ，|F₁F₂|=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过右焦点F₂作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点，在x轴上是否存在点P（m，0）使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，说明理由．

解：（1）设Q（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）知 $\text{[math]}$ =（-c，b）， $\text{[math]}$ =（x₀，-b），
∵ $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，∴-cx₀-b²=0，
∴x₀=- $\text{[math]}$ ，
∵2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴F₁为F₂Q中点，
∴ $\text{[math]}$ ，∴b²=3c²=a²-c²
∵|F₁F₂|=2，∴c=1，∴b= $\text{[math]}$ ，a=2
∴所求椭圆方程为 $\text{[math]}$ …6分
（2）由（1）知F₂（1，0），l：y=k（x-1）
代入椭圆方程，可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0…8分
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，
$\text{[math]}$ =（x₁+x₂-2m，y₁+y₂）
∵菱形对角线垂直，∴ $\text{[math]}$ =0
即 $\text{[math]}$ =-1 …11分
故k（y₁+y₂）+x₁+x₂-2m=0，则k²（x₁+x₂-2）+x₁+x₂-2m=0，
∴k²（ $\text{[math]}$ -2）+ $\text{[math]}$ -2m=0，
由已知条件知k≠0且k∈R，∴m= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴0＜m＜ $\text{[math]}$
故存在满足题意的点P且m的取值范围是0＜m＜ $\text{[math]}$ ．…14分
分析：（1）利用 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ，求出Q的坐标，利用2 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，可得F₁为F₂Q中点，结合|F₁F₂|=2，从而可求几何量，即可得到椭圆C的方程；
（2）设出l方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合菱形对角线垂直，即 $\text{[math]}$ =0，即可求得m的取值范围．
点评：本题考查椭圆的方程，考查向量知识的运用，考查直线与椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．