Question

已知0<x₁，且，试证：数列或者对任意自然数n都满足x_n<x_n+1，或者对任意自然数n都满足x_n>x_n+1。

 

Answer 1

答案：
解析：

， 由于x1>0，由递推式可知xn>0，所以xn+1－xn与1－同号。 （1）若0<x1<1， ①当n=1时，1－>0成立， ②设n=k时，1－>0，则当n=k+1时，     即n=k+1时，1－>0，由①、②知，对于一切自然数，都有1－>0， 从而对一切自然数n，都有xn+1>xn。     (2)若x1>1，同理可证对一切自然数n都有xn+1<xn。     由(1)、(2)可知，或者对任意自然数n，都有xn<xn+1或者对任意自然数n都有xn>xn+1。