Question

【题目】已知函数（a为负整数）的图像经过点.

（1）求的解析式；

（2）设函数，若在上解集非空，求实数b的取值范围；

（3）证明：方程有且仅有一个解．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（3）见解析﹔

【解析】

（1）在中令得，故，因为为负整数，所以为正整数，当时，利用判别式可判断此不等式无解，所以，解得，从而可得的解析式；

（2）在，上解集非空转化为在，上有解，再构造函数转化为最小值可得；（3）即证与的图象有且只有一个交点，证明时，与的图象无交点，在上有且只有一个零点，即得证.

（1）在中令得，

，

因为为负整数，所以为正整数，

当时，，因为△，所以

无解，

所以，解得或，所以，

，

（2）在，上解集非空在，上有解，

令，则，

因为函数在，上是减函数，

所以时，（3），

故．

（3）证明：即证与的图象有且只有一个交点，

当时，，

即时，与的图象无交点，

当时，令，

因为函数在上为递减函数，函数在上为递减函数，

所以在上为递减函数（减函数+减函数=减函数），

又时，，时，，根据零点存在性定理知：在上有且只有一个零点，

综上得有且只有一个解．