Question

17．已知函数f（x）=x³-ax²+3x，且x=3是f（x）的极值点．
（1）求实数a的值； 
（2）求f（x）在x∈[1，4]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=3x²-2ax+3． 由于x=3是f（x）的极值点，可得f′（3）=0，解出a并验证即可得出．
（2）f（x）=x³-5x²+3x．令f′（x）=3x²-10x+3=0，解得 x=3，或 x=$\frac{1}{3}$（舍去）．列出表格即可得出最值．

解答 解：（1）f′（x）=3x²-2ax+3，
∴f′（3）=27-6a+3=0，
∴a=5，
（2）由（1）知f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3，
令f′（x）=0，解得x=3，或x=$\frac{1}{3}$（舍去）
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

x	1	（1，3）	3	（3，4）	4
f′（x）		+	0	-
f（x）	-1	↗	-9	↘	-4

因此，当x=3时，f（x）在区间[1，4]上有最小值为f（3）=-9；
当x=1时，f（x）在区间[1，4]上有最大值是f（1）=-1．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题