题目内容

已知f（x）=
2x
2x+2
，则
4024
i=1
f(
i
2012
)=
2012
1
6
2012
1
6
．
分析：根据所求发现f（x）+f（2-x）=
2x
2x+2
+
2
2x+2
=1，然后根据倒序相加法可求出
4023
i=1
f(
i
2012
)的值，从而求出所求．
解答：解：∵f（x）=
2x
2x+2
，
∴f（2-x）=
22-x
22-x+2
=
4
4 +2•2x
=
2
2x+2
，
则f（x）+f（2-x）=
2x
2x+2
+
2
2x+2
=1，
4024
i=1
f(
i
2012
)=
4023
i=1
f(
i
2012
)+f（2）=
4023
i=1
f(
i
2012
)+
2
3

∵
4023
i=1
f(
i
2012
)=f（
1
2012
）+f（
2
2012
）+…+f（
4023
2012
）①
4023
i=1
f(
i
2012
)=f（
4023
2012
）+f（
4022
2012
）+…f（
1
2012
）②
∴①+②=2
4023
i=1
f(
i
2012
)=4023
即
4023
i=1
f(
i
2012
)=2011
1
2

∴
4024
i=1
f(
i
2012
)=
4023
i=1
f(
i
2012
)+f（2）=
4023
i=1
f(
i
2012
)+
2
3
=2011
1
2
+
2
3
=2012
1
6

故答案为：2012
1
6
点评：本题主要考查了函数求值，解题的关系发现f（x）+f（2-x）=1，同时考查了计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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已知f（x）=2x2+bx+c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5）．
（1）求f（x）的解析式；
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已知f（x）=2x2+1，则函数f（cosx）的单调减区间为
[kπ，
π
2
+kπ]，k∈Z
[kπ，
π
2
+kπ]，k∈Z
．
已知f（x）=2x2+3xf′（2），则f′（0）=
-12
-12
．
已知f（x）=2x2-kx-8在[2，3]上具有单调性，则k的取值范围是
k≤8或k≥12
k≤8或k≥12
．
已知f（x）=-2x2+x+1
（1）若f（x）＜0，求x的取值范围；
（2）数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=f（n），求数列{an}的通项公式．

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