Question

【题目】已知数列{an}满足a1= 且an+1= ．设bn+2=3 ，数列{cn}满足cn=anbn ．
（1）求数列{bn}通项公式；
（2）求数列{cn}的前n项和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 得，数列{an}是公比为 的等比数列，

则 ，

所以 ，即bn=3n+1

（2）解：由（1）知， ，bn=3n+1，

则 ．

，①

则 ，②

①﹣②两式相减得

=

=

= ．

所以

（3）解：因为 ，

所以 = ，

则数列{cn}单调递减，

∴当n=1时，cn取最大值是 ，

又∵cn≤ +m﹣1对一切正整数n恒成立，

∴ +m﹣1≥ ，即m2+4m﹣5≥0，

解得：m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）利用等比数列的通项公式计算可知{an}的通项，进而代入计算即得结论；（2）通过可知数列{cn}的通项公式，进而利用错位相减法计算即得结论；（3）通过分析可知数列{cn}的单调性，进而转化为解不等式问题，计算即得结论．
【考点精析】关于本题考查的数列的前n项和和数列的通项公式，需要了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．