Question

14．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4，g（x）=kx+3．
（1）当a=-1时，证明f（x）在区间（0，+∞）是增函数；
（2）当a∈[3，4]，函数f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），试求实数m的取值范围；
（3）当a∈[1，2]，若不等式|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂）对任意x₁，x₂∈[2，4]，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用单调性的定义，注意作差、变形和定符号和下结论几个步骤；
（2）求出f（x）的导数，求得单调区间，解不等式f（m）≥f（1）即可；
（3）不等式等价于F（x）=|f（x）|-g（x）在[2，4]上递增，显然F（x）为分段函数，结合单调性对每一段函数分析讨论即可．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x-$\frac{1}{x}$-4，
设0＜m＜n，则f（m）-f（n）=（m-$\frac{1}{m}$-4）-（n-$\frac{1}{n}$-4）
=（m-n）-（$\frac{1}{m}$-$\frac{1}{n}$）=（m-n）（1+$\frac{1}{mn}$），
由0＜m＜n，可得m-n＜0，mn＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即f（m）＜f（n）．
则有f（x）在区间（0，+∞）是增函数；
（2）∵a∈[3，4]，f（x）=x+$\frac{a}{x}$-4的导数为f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$，
∴y=f（x）在（1，$\sqrt{a}$）上递减，在（$\sqrt{a}$，+∞）上递增，
又∵f（x）在区间[1，m]上的最大值为f（m），
∴f（m）≥f（1），解得（m-1）（m-a）≥0，
∴m≥a_max，即m≥4；
（3）∵|f（x₁）|-|f（x₂）|＜g（x₁）-g（x₂），
∴|f（x₁）|-g（x₁）＜|f（x₂）|-g（x₂）恒成立，
令F（x）=|f（x）|-g（x），则F（x）在[2，4]上递增．
对于F（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（-1-k）x-\frac{a}{x}+1，x∈[2，2+\sqrt{4-a]}}\\{（1-k）x+\frac{a}{x}-7，x∈（2+\sqrt{4-a}，4]}\end{array}\right.$，
（1）当x∈[2，2$+\sqrt{4-a}$]时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1，
①当k=-1时，F（x）=-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上递增，所以k=-1符合；
②当k＜-1时，F（x）=（-1-k）x-$\frac{a}{x}$+1在[2，2+$\sqrt{4-a}$]上递增，所以k＜-1符合；
③当k＞-1时，只需$\sqrt{\frac{a}{1+k}}$≥2+$\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{1+k}}$≥（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_max=2+$\sqrt{3}$，
所以-1＜k≤6-4$\sqrt{3}$，从而k≤6-4$\sqrt{3}$；
（2）当x∈（2+$\sqrt{4-a}$，4]时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$，
①当k=1时，F（x）=$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上递减，所以k=1不符合；
②当k＞1时，F（x）=（1-k）x+$\frac{a}{x}$-7在（2+$\sqrt{4-a}$，4]上递减，所以k＞1不符合；
③当k＜1时，只需$\sqrt{\frac{a}{1-k}}$≤2+$\sqrt{4-a}$，即$\sqrt{\frac{1}{1-k}}$≤（$\frac{2}{\sqrt{a}}$+$\sqrt{\frac{4}{a}-1}$）_min=1+$\sqrt{2}$，
所以k＜2$\sqrt{2}$-2，
综上可知：k≤6-4$\sqrt{3}$．

点评 本题利用导数解决与最值、不等式的相关问题，考查分析、计算能力以及分类讨论的思想，属于难题．