Question

已知a_n是多项式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展开式中含x²项的系数，则

lim

n→∞

an

n3

的值是（　　）

• A、0
• B、

  1

  6

• C、

  1

  3

• D、

  1

  2

Answer 1

分析：本题由于各个二项式展开式中含x²项的系数通项为C_n²，则最终的x²的系数可以借助组合数公式C_n+1^m=C_n^m+C_n^m-1求出．

解答：解；因为（1+x）ⁿ中含x²的系数为C_n²，所以多项式（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ（n≥2，n∈N*）的展开式中含x²项的系数
a_n=C₂²+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₃³+C₃²+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₄³+C₄²+C₅²+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₅³+C₅²+C₆²…+C_n-1²+C_n²=C₆³+C₆²+…+C_n-1²+C_n²=C₇³+…+C_n-1²+C_n²=…=C_n³
∴a_n=

n(n-1)(n-2)

3×2×1

=

n(n-1)(n-2)

6

，
∴则

lim

n→∞

an

n3

=

lim

n→∞

(1- 1 n )(1- 2 n )

6

=

1

6

；
故选择B

点评：本题在考查二项式定理的展开式的同时主要检测了学生对组合数公式的掌握情况，并考查了学生对极限知识的掌握．属于综合题型，难度适中．